\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[left=20mm,right=20mm,top=20mm,bottom=30mm]{geometry}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{hyperref}

\newcommand{\nuc}[2]{$^{#2}$#1}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert #1 \rvert}

\begin{document}

\begin{centering}
  {\Large Дополнительные материалы } \\
  \large
   к отчёту о выполнении проекта №~19-12-00123 \\
   <<Мюонные аномалии, ультрапериферические столкновения на LHC и
   суперсимметрия>> \\
   в 2020 году \\
\end{centering}

\vspace{1cm}

Сечение ультрапериферического столкновения без учёта фактора подавления:
\begin{equation}
  \sigma(AB \to ABX)
  = \int\limits_0^\infty \mathrm{d} \omega_1
    \int\limits_0^\infty \mathrm{d} \omega_2
    \sigma(\gamma \gamma \to X)
    \, n_A(\omega_1)
    \, n_B(\omega_2),
\end{equation}
где
\begin{equation}
  n(\omega)
  = \frac{2 Z^2 \alpha}{\pi \omega}
    \int\limits_0^\infty
      \left[
        \frac{F(q_\perp^2 + \omega^2 / \gamma^2)}
             {q_\perp^2 + \omega^2 / \gamma^2}
      \right]^2
      q_\perp^3
    \, \mathrm{d} q_\perp
\end{equation}
~--- спектр эквивалентных фотонов, $\alpha$~--- постоянная тонкой структуры,
$Ze$~--- заряд частицы-источника фотонов, $\gamma$~--- её фактор Лоренца,
$F$~--- её электромагнитный формфактор, $q_\perp$~--- поперечный импульс фотона.

Сечение ультрапериферического столкновения с учётом фактора подавления:
\begin{equation}
  \sigma(AB \to ABX)
  = \int\limits_0^\infty \mathrm{d} \omega_1
    \int\limits_0^\infty \mathrm{d} \omega_2
    \sigma(\gamma \gamma \to X)
    \int\limits \mathrm{d}^2 b_1
    \int\limits \mathrm{d}^2 b_2
    \, n_A(b_1, \omega_1)
    \, n_B(b_2, \omega_2)
    P_{AB}(\abs{\vec b_1 - \vec b_2}),
\end{equation}
где
\begin{equation}
  n(b, \omega)
  = \frac{Z^2 \alpha}{\pi^2 \omega}
    \left[
      \int\limits_0^\infty
      \frac{F(q_\perp^2 + \omega^2 / \gamma^2)}{q_\perp^2 + \omega^2 / \gamma^2}
      \, J_1(b q_\perp)
      \, q_\perp^2
      \, \mathrm{d} q_\perp
    \right]^2
\end{equation}
~--- спектр эквивалентных фотонов на расстоянии $b$ от частицы-источника,
$J_1(x)$~--- функция Бесселя первого рода, $P_{AB}(b)$~--- вероятность частицам
$A$ и $B$ избежать неэлектромагнитных взаимодействий в столкновении с импакт
параметром $b$.

Фотон-фотонная светимость в ультрапериферических столкновениях с учётом фактора
подавления:
\begin{equation}
  \frac{\mathrm{d} L_{AB}}{\mathrm{d} s}
  = \int\limits_0^\infty \frac{\mathrm{d} x}{8x}
    \int \mathrm{d}^2 b_1
    \int \mathrm{d}^2 b_2
    \, n_A \left( b_1, \sqrt{\frac{sx}{4}} \right)
    \, n_B \left( b_2, \sqrt{\frac{s}{4x}} \right)
    P_{AB}(\abs{\vec b_1 - \vec b_2});
\end{equation}
без учёта фактора подавления:
\begin{equation}
  \left. \frac{\mathrm{d} L_{AB}}{\mathrm{d} s} \right\rvert_{P = 1}
  = \int\limits_0^\infty \frac{\mathrm{d} x}{8x}
    \, n_A \left( \sqrt{\frac{sx}{4}} \right)
    \, n_B \left( \sqrt{\frac{s}{4x}} \right).
\end{equation}
Здесь $s = 4 \omega_1 \omega_2$~--- инвариантная масса родившейся системы, $x =
\omega_1 / \omega_2$.

Фактор подавления:
\begin{equation}
  S_{\gamma \gamma}^2
  = \frac{\mathrm{d} L_{AB} / \mathrm{d} s}
         {\mathrm{d} L_{AB} / \mathrm{d} s \rvert_{P = 1}}.
\end{equation}

Электромагнитный формфактор протона~\cite{prep550-1}
\begin{equation}
  F_p(Q^2) \approx \frac{1}{(1 + Q^2 / \Lambda^2)^2},
\end{equation}
где $Q^2 = -q^2$, $q$~--- 4-импульс фотона, $\Lambda$~--- постоянная (для
предварительных расчётов использовано значение $\Lambda^2 = 0.71~\text{ГэВ}^2$).
Тогда спектры эквивалентных фотонов у протона
\begin{gather}
  n_p(\omega)
  = \frac{\alpha}{\pi \omega}
    \left[
        (4a + 1) \ln \left( 1 + \frac{1}{a} \right)
      - \frac{24 a^2 + 42 a + 17}{6 (a+1)^2}
    \right],
  \quad
  a = (\omega / \Lambda \gamma)^2 \quad \text{\cite{1806.07238}},
  \\
  n_p(b, \omega)
  = \frac{\alpha}{\pi^2 \omega}
    \left[
        \frac{\omega}{\gamma} K_1 \left( \frac{b \omega}{\gamma} \right)
      - \sqrt{\Lambda^2 + \left( \frac{\omega}{\gamma} \right)^2}
        K_1 \left(
          b \sqrt{\Lambda^2 + \left( \frac{\omega}{\gamma} \right)^2}
        \right)
      - \frac{b \Lambda^2}{2}
        K_0 \left(
          b \sqrt{\Lambda^2 + \left( \frac{\omega}{\gamma} \right)^2}
        \right)
    \right]^2,
\end{gather}
где $K_0(x)$, $K_1(x)$~--- модифицированные функции Бесселя второго рода
(функции Макдоналда).

Вероятность избежать неэлектромагнитного взаимодействия в ультрапериферическом
столкновении протонов~\cite{hep-ph/0608271}
\begin{equation}
  P_{pp}(b) = \left(1 - \mathrm{e}^{-\frac{b^2}{2 B}} \right)^2,
  \label{p-protons}
\end{equation}
где $B = 19.7~\text{ГэВ}^{-2}$~\cite{1408.5778}.

Электромагнитный формфактор ядра свинца в разложении Фурье-Бесселя
\begin{equation}
  F_\text{Pb}(Q^2)
  =       \frac{\sin Q R}{Q R}
    \cdot \frac{\sum\limits_{k=1}^K \frac{(-1)^k a_k}{k^2 \pi^2 - Q^2 R^2}}
               {\sum\limits_{k=1}^K \frac{(-1)^k a_k}{k^2 \pi^2}},
\end{equation}
где $R$ и $a_k$, $k = 1, \ldots, K$~--- параметры разложения.

Соответствующий спектр эквивалентных фотонов:
\begin{equation}
  n_\text{Pb}(b, \omega)
  = \frac{Z^2 \alpha}{\pi^2 \omega R^4}
    \left[ \sum\limits_{k=1}^K \frac{(-1)^k a_k}{k^2 \pi^2} \right]^{-2}
    \left[
      \sum\limits_{k=1}^K (-1)^k a_k
        \int\limits_0^\infty
          \frac{x^2 \sin \sqrt{x^2 + y^2} J_1(c x)}
               {(x^2 + y^2 - (k \pi)^2) (x^2 + y^2)^\frac{3}{2}}
        \mathrm{d} x
    \right]^2,
\end{equation}
где $x = q_\perp R$, $y = R \omega / \gamma$, $c = b / R$. Интеграл можно
представить в виде разности двух интегралов:
\begin{equation}
  \int\limits_0^\infty
    \frac{x^2 \sin \sqrt{x^2 + y^2} J_1(c y)}
         {(x^2 + y^2 - (k \pi)^2) (x^2 + y^2)^\frac{3}{2}}
  \mathrm{d} x
  = \frac{1}{(k \pi)^2}
    \int\limits_0^\infty
      \left( \frac{1}{x^2 + y^2 - (k \pi)^2} - \frac{1}{x^2 + y^2} \right)
      \frac{x^2 \sin \sqrt{x^2 + y^2}}{\sqrt{x^2 + y^2}}
      J_1(c y)
    \, \mathrm{d} x,
\end{equation}
для которых были получены следующие представления (предварительный результат):
\begin{gather}
  \begin{aligned}
    &\int\limits_0^\infty
      \frac{x^2 \sin \sqrt{x^2 + y^2} J_1(c x)}
           {(x^2 + y^2 - (k \pi)^2) \sqrt{x^2 + y^2}}
    \, \mathrm{d} x
    \\ &= (c > 1) = 0
    \\
    &\begin{multlined}
       = (c < 1, y > k \pi)
       = -\frac{\sin(y \sqrt{1 - c^2})}{c y}
       - 2 \frac{\sqrt{y^2 - (k \pi)^2}}{k \pi}
       \times \\ \quad \times
         \int\limits_0^{\ln \frac{1 + \sqrt{1 - c^2}}{c}}
           \sum\limits_{n=1}^\infty
           \sin \left( 2n \arctg \frac{k \pi}{\sqrt{z^2 - (k \pi)^2}} \right)
           \left( \frac{1 - c \ch t}{1 + c \ch t} \right)^n
           J_{2n}(y \sqrt{1 - c^2 \ch^2 t})
           \ch t
         \, \mathrm{d} t
     \end{multlined}
    \\
    &\begin{multlined}
       = (c < 1, y < k \pi)
       = -\frac{\sin(y \sqrt{1 - c^2})}{c y}
       - \frac{\sqrt{(k \pi)^2 - z^2}}{k \pi}
       \times \\ \quad \times
         \int\limits_0^{\ln \frac{1 + \sqrt{1 - c^2}}{c}}
           \sum\limits_{n=1}^\infty
           (-1)^n
           \left[
               \left(
                 \sqrt{\left( \frac{k \pi}{z} \right)^2 - 1} + \frac{k \pi}{z}
               \right)^{2n}
             - \left(
                 \sqrt{\left( \frac{k \pi}{z} \right)^2 - 1} - \frac{k \pi}{z}
               \right)^{-2n}
           \right]
           \left[ \frac{1 - c \ch t}{1 + c \ch t} \right]^n
       \times \\ \quad \times
           J_{2n}(y \sqrt{1 - c^2 \ch^2 t})
           \ch t
         \, \mathrm{d} t
       \end{multlined}
  \end{aligned}
  \\
  \begin{aligned}
    &\int\limits_0^\infty
      \frac{x^2 \sin \sqrt{x^2 + y^2} J_1(c x)}
           {(x^2 + y^2)^{3/2}}
    \, \mathrm{d} x
    \\
    &= (c > 1) = y K_1(c y) \\
    &\begin{multlined}
       = (c < 1)
       = y K_1(c y)
       + \frac{1 - c^2}{c} \cos(y \sqrt{1 - c^2})
       + 2 y
         \int\limits_0^{\ln \frac{1 + \sqrt{1 - c^2}}{c}}
           \sum\limits_{n=0}^\infty
           \left( \frac{1 - c \ch t}{1 + c \ch t} \right)^{n + \frac12}
         \times \\ \times
           J_{2n + 1}(z \sqrt{1 - c^2 \ch^2 t})
           \ch t
         \, \mathrm{d} t.
      \end{multlined}
   \end{aligned}
\end{gather}
Эти преобразования позволяют перейти от интегрирования произведения
осциллирующих функций на полубесконечном интервале к интегрированию ряда
осциллирующих функций на конечном интервале. Ожидается, что численное
интегрирование во втором случае будет проще.

Электромагнитный формфактор ядра свинца в монопольном приближении:
\begin{equation}
  F_1(Q^2) = \frac{1}{1 + Q^2 / \Lambda^2},
\end{equation}
где $\Lambda = 80$~МэВ для данных работы~\cite{adndt36-495} и $\Lambda = 50$~МэВ
для данных работы~\cite{adndt60-177}.

Спектры эквивалентных фотонов для монопольного формфактора:
\begin{gather}
  n_1(\omega)
  = \frac{Z^2 \alpha}{\pi \omega}
    \left[ (2a + 1) \ln \left( 1 + \frac{1}{a} \right) - 2 \right],
  \quad a = (\omega / \Lambda \gamma)^2
  \quad \text{\cite{1806.07238}}
  \\
  n_1(b, \omega)
  = \frac{Z^2 \alpha}{\pi^2 \omega}
    \left[
        \frac{\omega}{\gamma} K_1 \left( \frac{b \omega}{\gamma} \right)
      - \sqrt{\Lambda^2 + \left( \frac{\omega}{\gamma} \right)^2}
        K_1 \left(
          b \sqrt{\Lambda^2 + \left( \frac{\omega}{\gamma} \right)^2}
        \right)
    \right]^2.
\end{gather}

Вероятность избежать неэлектромагнитного взаимодействия в столкновении двух ядер
свинца~\cite{nucl-ex/0302016}
\begin{equation}
  P_\text{Pb Pb}(b) = \mathrm{e}^{-\sigma_{NN} T_\text{Pb Pb}(b)},
\end{equation}
где $\sigma_{NN}$~--- сечение столкновения двух нуклонов соответствующей
энергии,
\begin{equation}
  T_\text{Pb Pb}(b)
  = \int
      T_\text{Pb}(\vec \beta)
      T_\text{Pb}(\abs{\vec b - \vec \beta})
    \, \mathrm{d^2} \beta
\end{equation}
описывает перекрытие ядер при столкновении (nuclear overlap function).
Интегрирование ведётся по всей плоскости, перпендикулярной оси столкновения.
Функция
\begin{equation}
  T_\text{Pb}(b) = \int\limits_0^\infty \rho_\text{Pb}(b, z) \, \mathrm{d} z
\end{equation}
~--- толщина ядра на расстоянии $b$ от центра, $\rho_\text{Pb}(b, z)$~---
ядерная плотность.

\begin{figure}
  \centering
  \includegraphics[scale=0.8]{atlas-pp.pdf}
  \caption{
    Дифференциальное сечение рождения пары мюонов в ультрапериферических
    столкновениях протонов с энергией 13 ТэВ с учётом экспериментальных
    обрезаний на фазовое пространство: в области инвариантных масс $12 <
    \sqrt{s} < 30$~ГэВ поперечный импульс каждого мюона $p_T > 6$~ГэВ; в области
    $30 < \sqrt{s} < 70$~ГэВ $p_T > 10$~ГэВ; всюду псевдобыстрота каждого мюона
    $\abs{\eta} < 2.4$.  Точки~--- значения, полученные коллаборацией
    ATLAS~\cite{1708.04053}.  Красная пунктирная линия~--- расчёт без учёта
    фактора подавления~\cite{1806.07238}.  Чёрная линия~--- расчёт с учётом
    фактора подавления.
 }
\end{figure}

\begin{figure}
  \centering
  \includegraphics[scale=0.8]{atlas-pb-pb.pdf}
  \caption{
    (Предварительный результат) Дифференциальное сечение рождения пары мюонов в
    ультрапериферических столкновениях ядер \nuc{Pb}{208} с энергией
    $5.02~\text{ТэВ}/\text{(пара нуклонов)}$ с учётом экспериментальных
    обрезаний на фазовое пространство: поперечный импульс каждого мюона $p_T >
    4$~ГэВ; псевдобыстрота каждого мюона $\abs{\eta} < 2.4$. Расчёт сделан для
    монопольных формфакторов с параметрами $\Lambda = 80$~МэВ и 50~МэВ и с
    вероятностью избежать неэлектромагнитного взаимодействия, аппроксимированной
    формулой для протонов~\eqref{p-protons}, но с параметром $B =
    R_\text{Pb}^2$, где $R_\text{Pb} = 5.5$~фм~--- радиус ядра
    свинца~\cite{adndt36-495}.
  }
\end{figure}

\begin{figure}
  \centering
  \includegraphics[scale=0.8]{chargino-pp.pdf}
  \caption{
    Левая шкала: дифференциальное сечение рождения пары заряженных частиц в
    ультрапериферических столкновениях протонов с энергией 13 ТэВ в зависимости
    от массы частиц с учётом (синяя штриховая линия) и без учёта (красная
    пунктирная линия) фактора подавления. Правая шкала: отношение сечений
    (чёрная сплошная линия).
  }
\end{figure}

\begin{figure}
  \centering
  \includegraphics[scale=0.8]{chargino-pb-pb.pdf}
  \caption{
    (Предварительный результат) Левая шкала: дифференциальное сечение рождения
    пары заряженных частиц в ультрапериферических столкновениях ядер свинца с
    энергией $5.03~\text{ТэВ}/\text{(пара нуклонов)}$ в зависимости от массы
    частиц с учётом (синяя пунктирная линия) и без учёта (красная штриховая линия)
    фактора подавления. Правая шкала: отношение сечений (чёрная сплошная линия).
    Расчёт сделан для монопольного формфактора с параметром $\Lambda = 80$~МэВ и
    с вероятностью избежать неэлектромагнитного взаимодействия,
    аппроксимированной формулой для протонов~\eqref{p-protons}, но с параметром
    $B = R_\text{Pb}^2$, где $R = 5.5$~фм~--- радиус ядра
    свинца~\cite{adndt36-495}.
 }
\end{figure}

\begin{figure}
  \centering
  \includegraphics[scale=0.8]{survival-pp.pdf}
  \caption{
    Левая шкала: фотон-фотонные светимости в ультрапериферических столкновениях
    протонов с энергией 13~ТэВ с учётом (синяя пунктирная линия) и без учёта
    (красная штриховая линия) фактора подавления. Правая шкала: фактор
    подавления (отношение светимостей; чёрная сплошная линия).
  }
\end{figure}

\begin{figure}
  \centering
  \includegraphics[scale=0.8]{survival-pb-pb.pdf}
  \caption{
    (Предварительный результат) Левая шкала: фотон-фотонные светимости в
    ультрапериферических столкновениях ядер свинца с энергией
    $5.02~\text{ТэВ}/\text{(пара нуклонов)}$ с учётом (синяя пунктирная линия) и
    без учёта (красная штриховая линия) фактора подавления. Правая шкала: фактор
    подавления (отношение светимостей; чёрная сплошная линия).
  }
\end{figure}

\begin{figure}
  \centering
  \includegraphics{ff-1995.pdf}
  \caption{
    Внутренние несоответствия, обнаруженные в параметрах $a_k$ и $R$
    представления электромагнитного формфактора ядра \nuc{Pb}{208} в данных
    работы~\cite{adndt60-177}. В таблице в колонках ``Quoted'' представлены
    заряд и среднеквадратичный радиус ядра свинца, как они приведены в
    работах~\cite{adndt36-495} и~\cite{adndt60-177}, а в колонках ``Actual''~---
    результат вычисления по соответствующим формулам. На графике нарисованы
    зависимости плотности заряда от расстояния до центра ядра. Плотность заряда
    для работы~\cite{adndt36-495} перенормирована, чтобы полный заряд равнялся
    82. На расстоянии $r = R = 12.5$~фм в этой плотности есть излом. На графике
    также для сравнения приведены плотности, соответствующие монопольным
    формфакторам с различными параметрами. Слайд взят из доклада Е.В. Жемчугова
    на конференции 5th international conference on particle physics and
    astrophysics. Москва, 5-9 октября 2020.
  }
\end{figure}

\clearpage

\newcommand{\arxiv}[1]{}
\begin{thebibliography}{99}
\input{references.tex}
\end{thebibliography}

\end{document}
