1.3 В ультрапериферических столкновениях важна внутренняя структура сталкивающихся частиц, а также как именно между ними проходит взаимодействие. Внутренняя структура частиц входит в расчёты процессов, проходящих в ультрапериферических столкновениях, через электромагнитные формфакторы частицы. Электромагнитное взаимодействие описывается методом эквивалентных фотонов и создаёт основной наблюдаемый эффект в ультрапериферическом взаимодействии. Неэлектромагнитные взаимодействия вносят вклад в вероятность того, что частицы выживут в столкновении с заданным импакт фактором. В 2020 году мы планировали вычислить фактор подавления (выживания), который описывает вклад в ультрапериферические рассеяния от неэлектромагнитных взаимодействий сталкивающихся частиц (он определяется как отношение фотон-фотонных светимостей с учётом и без учёта неэлектромагнитных взаимодействий). Как выяснилось, это задача более сложная, чем казалось вначале из-за сложного взаимодействия между электромагнитными формфакторами и пространственным формализмом метода эквивалентных фотонов, использующимся для вычисления фактора подавления. Определение фактора подавления приводится в нашей первой работе по теме гранта [1806.07238], формула (C.14). Чтобы вычислить числитель этой формулы, нужно вычислить четырёхкратный интеграл, состоящий из двух двукратных интегралов по плоскости, перпендикулярной направлению движения сталкивающихся частиц. На практике интересен не сам фактор, а сечение столкновения, при вычислении которого необходимо проинтегрировать числитель (C.14) ещё два раза по энергиям фотонов. Таким образом, интеграл становится шестикратным. Спектр эквивалентных фотонов представлен в той же работе в формуле (C.10); в это выражение входит интеграл от произведения электромагнитного формфактора частицы-источника фотонов на функцию Бесселя первого рода по абсолютной величине поперечного импульсу фотона. В результате мы получаем, что необходимо вычислить шестикратный интеграл, в подынтегральном выражении которого находится произведение ещё двух интегралов. Вычисление подобных интегралов высокой размерности является серьёзным вызовом для численных методов. В случае столкновений протонов задача вычисления фактора подавления была доведена до конца. Протонный формфактор описывается суммой двух компонент: электрический (дипольный) формфактор и магнитный формфактор. Как было нами показано в той же работе [1806.07238], вклад магнитного формфактора в ультрапериферических столкновениях даёт эффект порядка 5%. Если им пренебречь, то можно получить простое аналитическое выражение для спектра эквивалентных фотонов: в этом случае интеграл от произведение формфактора и функции Бесселя первого рода даёт модифицированную функцию Бесселя второго рода (функцию Макдоналда). После этого шестикратный интеграл для сечения успешно вычисляется численно за разумное время рекуррентным применением метода гауссовых квадратур. Мы вычислили таким образом сечение рождения пары мюонов в ультрапериферических столкновениях протонов на БАК и сравнили результат с результатами измерений коллаборации ATLAS [1708.04053] и с нашими прошлыми расчётами из работы [1806.07238], в которых фактор подавления не учитывался. Мы получили, что фактор подавления для протон-протонных столкновений в этой области инвариантных масс составляет 3-5% и практически компенсирует вклад от магнитного формфактора. Попутно была обнаружена ошибка в работе [1410.2983] - в таблице 1 были приведены неправильные сечения рождения пары мюонов. Мы сообщили об этом авторам, и они с нами согласились. Результаты расчётов фактора выживания для столкновений протонов ещё не опубликованы, потому что мы предполагали опубликовать их вместе с расчётами фактора выживания для столкновения ядер свинца, но с ними возникли сложности. Мы сейчас обсуждаем целесообразность выпуска отдельной публикации для протонов. Столкновение ядер Pb208 от столкновения протонов отличается в двух местах. Во-первых, электромагнитный формфактор у ядер свинца другой, причём он известен с худшей точностью, чем для протонов. В литературе можно найти три способа его описания: монопольное приближение, приближение Фурье-Бесселя и приближение Вудса-Саксона. Для монопольного приближения, также как для дипольного приближения электромагнитного формфактора протона, можно получить аналитическое выражение для спектра эквивалентных фотонов. Во-вторых, вероятность неэлектромагнитного взаимодействия, приводящего к развалу исходных частиц, в столкновениях свинца не такая, как у протонов. У протонов эта вероятность описывается формулой P(b) = (1 - exp(-b^2 / 2B))^2, где b - минимальное расстояние между протонами (импакт-фактор), B - численный параметр. Для свинца же используется формализм Глаубера (см. [nucl-ex/0302016], формулы (2), (10), (11)]), в котором вероятность через трёхкратный интеграл от ядерной плотности. Учитывая, что при вычислении сечения ультрапериферического столкновения с учётом фактора подавления эта вероятность входит в шестикратный интеграл, интегралы от ядерной плотности необходимо считать с большой точностью. На данный момент эта задача ещё не решена. Для предварительных оценок мы использовали ту же вероятность, что для протонов, с параметром B = R^2, где R - радиус ядра Pb208. При изучении формализма Глаубера и того, как он применяется в других работах, нами была обнаружена ошибка в работе [1607.03838]: параметр r в формуле (6) был определён не так, как в ссылке [27], что приводило к небольшой недооценке фотон-фотонных светимостей. Мы сообщили об этой ошибке авторам. Электромагнитный формфактор ядер свинца измеряется посредством облучения свинцовой мишени пучком электронов. Есть две работы, в которых обобщаются результаты таких измерений и приводятся параметры представления формфактора в виде разложения по сферическим функциям Бесселя первого рода (разложения Фурье-Бесселя): [1987] и [1995]. В данных работы [1995] нами были обнаружены внутренние противоречия: рассчитанные по приведённым параметрам средний квадрат радиуса ядра свинца отличается от указанного там же в таблице (8.08 фм вместо 5.48 фм), заряд ядра получается неправильный (3806 вместо 82) и в зависимости плотности заряда от расстояния до центра ядра есть излом на 12 фм, не имеющий физического смысла. Этих противоречий нет в работе [1987]. Однако, в нашей работе [1806.07238] оказалось, что расчёт, выполненный с параметрами из работы [1995], идеально описывает результаты измерения сечения рождения пары мюонов в ультрапериферических столкновениях ядер свинца, выполненный коллаборацией ATLAS, в то время как расчёт по данным [1987] превышает результаты измерения в 1.5 раза. Мы предполагаем, что это случайное совпадение, и что учёт фактора подавления приведёт к улучшению согласия данных [1987] и ухудшению согласия данных [1995] с результатами коллаборация ATLAS. Это было одной из основных мотиваций нашей работы. Монопольное приближение для электромагнитного формфактора зависит от одного численного параметра. Варьируя этот параметр, можно добиться хорошего согласия между монопольным приближением и приближением Фурье-Бесселя в области малых импульсов фотона. Кроме того, для монопольного приближения, так же как и для дипольного приближения для формфактора протона, удаётся получить простое аналитическое выражение для спектра эквивалентных фотонов. Мы выполнили ряд предварительных расчётов в этом приближении и с упрощённой формулой для вероятности того, что ядра выживут после столкновения, и получили, что фактор подавления составляет 0.85 в области инвариантных масс рождающейся системы порядка 100 ГэВ, быстро падает с ростом инвариантной массы и практически не зависит от того, какие данные описывает параметр монопольного приближения: [1987] или [1995]. При рассмотрении рождения систем с большой инвариантной массой в ультрапериферических столкновениях требуются фотоны с большой энергией. Для таких фотонов монопольное приближение электромагнитного формфактора ядра Pb208 будет работать неудовлетворительно. Поэтому желательно научиться вычислять фактор подавления, используя представление формфактора в виде разложения Фурье-Бесселя. Для этого прежде всего необходимо уметь вычислять спектр эквивалентных фотонов на заданном расстоянии от ядра в его поперечной плоскости. Эта задача сводится к вычислению следующего интеграла int_0^infinity x^2 / (x^2 + z^2 - (k pi)^2) * sin(sqrt{x^2 + z^2}) / (x^2 + z^2)^{3/2} * J_1(a x), dx где k - целое, z и a вещественные. Этот интеграл не берётся в элементарных или известных нам специальных функциях. Сначала мы пытались вычислить этот интеграл численно. Основная проблема здесь в том, что интегрируется произведение двух осциллирующих функций на бесконечном отрезке. Между этими функциями возникают биения, и из-за этого сложно определить когда можно прекращать интегрирование. Кроме того, при некоторых значениях параметров a и z, интересных для нашей задачи, происходит почти полная компенсация колебаний, и тогда набегающие численные ошибки перекрывают результат. Методы интегрирования осциллирующих функций (W-преобразование, преобразование Шенкса) не сработали из-за биений. Далее мы попробовали вычислить интеграл аналитически - хотя бы свести его к некоторому ряду, из которого можно взять несколько первых членов. Это нам удалось: используя контурное интегрирование и различные свойства функций Бесселя интеграл удалось представить в виде суммы двух бесконечных рядов функций Бесселя первого рода. Сейчас мы работаем над внедрением этого представления спектра в наши расчётные программы. Параллельно была рассмотрена возможность оптимизации расчётов, основанная на том, что спектр фотонов - это гладкая функция от двух параметров: расстояние до центра ядра и энергия фотона. Идея оптимизации заключалась в том, чтобы запоминать значения спектра в уже вычисленных точках, и при вычислении в некоторой окрестности этих точек делать интерполяцию. Этот подход отлично работал в предыдущих расчётах без учёта фактора подавления, когда спектр зависел только от энергии фотона. К сожалению, оптимизация провалилась. Наиболее многообещающим был подход c построением триангуляции Делона, которая является дуальной для сетки Вороного - интерполяция проводилась по точкам, ограничивающим соответствующую ячейку Вороного. Однако, затраты на поддержание триангуляции оказались слишком большими. Более простые методы, основанные на построении прямоугольной двумерной сетки, оказались слишком требовательными к памяти. 1.5 Большой Адронный Коллайдер (БАК) можно рассматривать как фотон-фотонный коллайдер, в котором столкновение фотонов происходит в так называемых ультрапериферических столкновениях. Ультрапериферическими столкновениями называют такие столкновения, в которых сталкивающиеся частицы проходят на некотором расстоянии друг от друга и сталкиваются своими электромагнитными полями. Электромагнитное поле ультрарелятивистской частицы выглядит как тонкий диск, состоящий из практически реальных фотонов. При столкновении эти диски проходят сквозь друг друга, фотоны взаимодействуют и могут рассеиваться или рождать новые частицы. Исходные частицы при этом не разрушаются. Относительно недавно (в 2018 году) коллаборацией CMS было получено указание на существование резонанса с массой около 28 ГэВ в распределении инвариантных масс пар мюон-антимюон, рождающихся в обычных (не ультрапериферических) столкновениях протонов с энергией 8 ТэВ на Большом Адронном Коллайдере. Подобные резонансы - это первые проявления новых элементарных частиц в экспериментальных данных. Физическое его объяснение заключается в том, что при столкновении протонов рождается новая частица, которая затем распадается на пару мюон-антимюон. Пик резонанса соответствует массе рождающейся частицы. Взаимодействие частицы с мюонами означает, что она вносит вклад в аномальный магнитный момент мюона, о котором известно, что его теоретическое предсказание с учётом вклада известных частиц отличается от экспериментального предсказания на три стандартных отклонения. Отсюда можно оценить константу связи новой частицы с мюонами. Поскольку предполагается, что новая частица распадается на пару мюон-антимюон, её электрический заряд должен быть равен нулю, и она не взаимодействует с фотонами. Однако, такая частица всё равно может родиться в ультрапериферических столкновениях в процессе, обратном процессу распада бозона Хиггса на два фотона: фотоны из сталкивающихся частиц рождает пару мюон-антимюон, которая затем сливается, образуя новую частицу. В качестве промежуточных частиц могут быть не только мюоны, но и любые другие заряженные частицы, при условии, что новая частица с ними взаимодействует. Используя эти данные, а также результаты измерений коллаборацией ATLAS сечения рождения пары мюон-антимюон в ультрапериферических столкновениях протонов на БАК, в рамках Проекта было поставлено ограничение на константу связи новой частицы с фотонами (посредством петель из заряженных частиц) и соответствующую ей ширину распада в два фотона. Мы получили, что эта ширина должна быть меньше 46 кэВ или 58 МэВ, в зависимости от того, является ли наблюдаемая коллаборацией CMS ширина резонанса в 1.8 ГэВ его истинной шириной или следствием конечного разрешения детектора и алгоритмов обработки данных. В противном случае новая частица должна была наблюдаться коллаборацией ATLAS в виде превышения событий рождения пар мюонов с инвариантной массой 22-30 ГэВ над теоретическим предсказанием.